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limx 无穷xsin1 x

令t(x) = 1/x则lim(x→∞)xsin1/x = lim (x→∞) 1/t(x) * sin t(x)由于当x→∞时t(x)→0,因此lim (x→∞) 1/t(x) * sin t(x) = lim(t→0) (sin t)/t = 1.

x趋向于无穷时xsin1/x的极限是1.解析过程如下:lim(x→∞)xsin1/x=lim(x→∞)sin(1/x)/(1/x)=lim(t→0)sint/t=1 x趋向于无穷时,1/x就趋于0,为无穷乘以0型,需改为0比0型或者无穷比无穷型,将x下放至分母变为xsin(1/x)=sin(1/x)/(1/x)此为0比0型 由

limx→∞ xsin(1/x)=limx→∞ sin(1/x)/(1/x)=1

limxsin(1/x)=limsin(1/x)/(1/x)=1 (x→∞,1/x→0)

lim(x→∞)(xsin(1/x)) 令1/x=t(t→0)= lim(sint/t)(t→0)洛必达法则=cost/1=1/1=1 lim(x→0)(xsin(1/x)) 令1/x=t=lim(sint/t)(t→∞)=有界函数/∞=0

x->0时,因为1/x趋于无穷,但sin1/x却在[-1,1]间振荡变化,当其为0的时候,1/xsin(1/x)也会为0因此lim (1/x)sin(1/x)是不存在的,它会在无穷大与0之间振荡.

令a=1/xx=1/ax趋于∞则a趋于0所以原式=lim(a趋于0)sina/a=1

因为 lim1/x=0( x趋近无穷大) 而 sin1/x是有界函数 所以 原函数极限=0

先做等价无穷小代换 lim(x→∞)x2ln[xsin(1/x)] =lim(x→∞)x2ln[1+xsin(1/x)-1] 【ln(1+u)~u】 =lim(x→∞)x2[xsin(1/x)-1] 【令t=1/x】 =lim(t→0)1/t2[1/tsint-1] =lim(t→0)(sint-t)/t3 =lim(t→0)(cost-1)/(3t2) 【这里应用洛必达法则】 =lim(t→0)(-sint)/(6t) 【这里应用洛必达法则】 =-1/6 【这里应用重要极限】

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